已知函数f(x)是定义域在r上的奇函数,且f(x-3)为偶函数

已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=3,且函数f(x-1)为奇函数,f(x+3)为偶函数,则f+f=___.... 已知函数f(x)的定义域为R,f(0)=3,且函数f(x-1)为奇函数,f(x+3)为偶函数,则f+f=___. 展开
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中书凭之桃
2020-06-23 · TA获得超过1186个赞
知道小有建树答主
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∵f(x-1)为奇函数,
∴f(x-1)=-f(-x-1).①
对①式 令x=1 得 f(0)=-f(-2)
∴f(-2)=-f(0)=-3.
对①式 令x=0 得 f(-1)=-f(-1)
∴f(-1)=0
∵f(x+3)为偶函数,
∴f(x+3)=f(-x+3)②
由①②可知
f(x)=f[(x+1)-1]=-f[-(x+1)-1]=-f(-x-2)
=-f[(-x-5)+3]=-f[(x+5)+3]=-f(x+8).
∵f(x)=-f(x+8),
∴f(x+8)=-f(x+8+8)=-f(x+16),
∴f(x)=f(x+16),
∴f(x)是以16为周期的周期函数.
∴f=f(126×16-2)=f(-2)=-3,f=f(126×16-1)=f(-1)=0.
∴f+f=-3
故答案为-3.
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