Question

请问一下这个幂级数的和函数应该怎么求？

Answer 1

分享解法如下。设t=(x+2)/3，设原式=S。∴S=原式=∑(t^n)/n。
由S两边对t求导、丨t丨<1时，S'=∑t^(n-1)=1/(1-t)。而t=0时，S=0，∴S=∫(0,t)S'dt=-ln(1-t)。
∴原式=-ln(1-t)=ln3-ln(1-x)，其中。x∈[-5,1)。

Answer 2

S(x)=sum((x+2)^n/(n3^n), n=1,2,...,无穷大)
=∫[dsum((x+2)^n/(n3^n), n=1,2,...,无穷大)/dx]dx
=∫sum(d(x+2)^n/(n3^n)/dx, n=1,2,...,无穷大)dx
=∫sum((x+2)^(n-1)/(3^n), n=1,2,...,无穷大)dx
=∫(1/(x+2)sum(((x+2)/3)^n, n=1,2,...,无穷大)dx
=∫1/(x+2) (x+2)/3 /(1-(x+2)/3)dx
=∫ 1/(3-x-2)dx=∫1/(1-x)dx = -ln|1-x|+C
x=-2时，和应该为0，所以S(-2)=-ln(3)+C=0, C=ln(3)
S(x)=ln3 - ln|1-x|

Answer 3

直接对数函数的展开式：
-ln[1-(x+2)/3]=Σ《n=1，∞》[(x+2)^n/(n*3^n)]
把上面这个等式反过来写就可以
收敛域：-5<=x<1

Answer 4