证明不等式:当x>0时,e^x >1+x+x^2/2 1.证明不等式:当x>0时,ex >1+x+x2/2
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证明:令f(x)=e^x-(1+x+x^2/2),则有
f'(x)=e^x-(x+1)
f''(x)=e^x-1
易知f''(x)在R上单调递增函数.
所以,当x>0时,f''(x)>f''(0)=0,则f'(x)在(0,+∞)上是单调递增的; 则有f'(x)>f'(0)=0,推出f(x)在(0,+∞)上也是单调递增的;所以有f(x)>f(0)=0,即e^x-(1+x+x^2/2)>0,所以当x>0时,证明不等式e^x>1+x+x^2/2成立.
f'(x)=e^x-(x+1)
f''(x)=e^x-1
易知f''(x)在R上单调递增函数.
所以,当x>0时,f''(x)>f''(0)=0,则f'(x)在(0,+∞)上是单调递增的; 则有f'(x)>f'(0)=0,推出f(x)在(0,+∞)上也是单调递增的;所以有f(x)>f(0)=0,即e^x-(1+x+x^2/2)>0,所以当x>0时,证明不等式e^x>1+x+x^2/2成立.
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