Question

1/根号下1+x^2的积分是什么？

Answer 1

具体回答如下：

利用第二积分换元法，令x=tanu，则：

∫√(1+x²)dx

=∫sec³udu=∫secudtanu

=secutanu-∫tanudsecu

=secutanu-∫tan²usecudu

=secutanu-∫sec³udu+∫secudu

=secutanu+ln|secu+tanu|-∫sec³udu

所以∫sec³udu=1/2(secutanu+ln|secu+tanu|)+C

从而∫√(1+x²)dx=1/2(x√(1+x²)+ln(x+√(1+x²)))+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。