Question

函数与导数客观题：新高考数学全国卷题12

Answer 1

过平面内一点 作曲线 的两条互相垂直的切线 , 切点为 （ 不重合），设直线 分别与 轴交于点 ，则下列结论正确的是

A. 两点的横坐标之积为定值

B. 直线 的斜率为定值;

C. 线段 的长度为定值

D. 三角形 面积的取值范围为

【解析】

是一个分段函数：

;

;

不妨设 分别为 上的切点，记切点坐标为 ;

∵ 两条切线互相垂直， ∴ ,

所以，选项 A 正确；

∵ ,

∴ ,

∴ 直线 的斜率为 ,

选项 B 正确；

曲线 有一个特殊点 , 若 ， 则 三点重合，相应的， ;

此时， , 是等腰直角三角形，且 .

当 不重合时有：

切线 的方程为 ,

切线 的方程为 ,

,

,

.

∴ 选项 C 正确；

与 互为倒数， ,

不断增大，则切线 的倾角趋近于 ;

切线 与 轴的夹角趋近于 ，

记此夹角为 , 则

所以， ,

选项 D 正确.

结论：ABCD 都是正确选项.

【提炼与提高】

难度不高，工作量加大。

数形结合，要求考生灵活处理。