Question

（1）已知△ABC中,AB=根号3,BC=2根号7,以AC为边向外作等边三角形ACD,连接BD

Answer 1

⑴将△ABD绕点D逆时针旋转得到△CED,则△ABD≌△CED,

∴CE=AB=√3,DE=BD,∠CDE=∠ADB,∠DCE=∠BAD,∠CED=∠ABD,

∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=∠CDE+∠ADE=60°,
∴△BDE为正三角形,
∴BD=BE,
∵∠ADB+∠ABD+∠ACB=180°-2×60°-30°=30°,
∴∠BCE=180°-60°-(∠CDE+∠CED+∠ACB)=90°,
∴BD=BE=√(BC²+CE²)=√31；
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⑵当BC、CE、BE三边成三角形时,
BE当B、C、E在同一直线上时,
BE=BC+CE=2√7+√3,

易得△BDE为正三角形,
∴∠E=∠ABD=60°,∠DBE=60°,
∴∠ABC=α=∠ABD+∠DBE=120°,
故当∠ABC=α=120°,B、C、E在同一直线上时,
BD有最大值=2√7+√3．
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