Question

微积分求圆的面积

Answer 1

为了求出圆的面积，我们可以将圆分成许多小的扇形，并将这些扇形拼接在一起，形成一个逼近圆的多边形。当多边形的边数无限增加时，多边形的周长趋近于圆的周长，多边形的面积趋近于圆的面积。

假设将圆分成 n 个扇形，则每个扇形的圆心角为 \frac{2\pi}{n}，扇形的面积为 \frac{1}{2}r^2\sin（\frac{2\pi}{n}）。将所有扇形的面积相加，即可得到逼近圆的多边形的面积：S_n=n\times\frac{1}{2}r^2\sin（\frac{2\pi}{n}。

当 n 趋近于无穷大时，\frac{2\pi}{n}趋近于 0，\sin（\frac{2\pi}{n}） 趋近于 \frac{2\pi}{n}，因此逼近圆的多边形的面积趋近于圆的面积。即：

S=\lim_{n\to\infty}n\times\frac{1}{2}r^2\sin（\frac{2\pi}{n}）=\lim_{n\to\infty}n\times\frac{1}{2}r^2\frac{2\pi}{n}=\pi r^

因此，圆的面积为 pi r^2，其中 \pi 为圆周率，r 为圆的半径。