Question

f(x)+∫(上限x，下限0)tf(t)=1，求f(x)解析式

Answer 1

对该等式两边求导，有：
f'(x) + x f(x) = 0
这是一个一阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求解。将 f(x) 移到方程左侧，t 移到方程右侧，得到：
f'(x) / f(x) = -x
对两边同时不定积分，得到：
ln|f(x)| = -1/2 x^2 + C
其中 C 为积分常数。将 e 的幂函数应用于上式，得到：
f(x) = Ce^(-1/2 x^2)
要求出常数 C 的值，可以代入题目中给出的条件：
f(x) + ∫(上限x，下限0)tf(t) dt = 1
对上式两边同时求导，得到：
f'(x) + xf(x) = 0
将 f(x) 代入上式，得到：
Ce^(-1/2 x^2) - xC e^(-1/2 x^2) = 0
化简得：
C = √(2/π)
因此，f(x) 的解析式为：
f(x) = √(2/π) e^(-1/2 x^2)