Question

设S为满足下列条件的实数构成的非空集合:①1不属于S ;②若a∈S,则1/(1-a) ∈S

设S为满足下列条件的实数构成的非空集合:①1不属于S ;②若a∈S,则1/(1-a) ∈S

设S为满足下列条件的实数构成的非空集合:①1不属于S ;②若a∈S,则1/(1-a) ∈S

(1):0是否为集合S中的元素 ?为什么?
(2):若2∈S,试确定一个符合的集合S
(3)集合S中至少有多少个元素?证明你的结论

Answer 1

1）
0不是集合S中的元素
因为，如果是，则：1/(1-0)=1∈S
与:①1不属于S矛盾

2）
2∈S
1/(1-2)=-1∈S
1/(1-(-1))=1/2∈S
1/(1-1/2)=2∈S
所以，一个符合的集合S={2，-1，1/2}

3)
由2）看出，3个元素可以构成S
0个元素时。与S为非空集合矛盾
1个元素时，a=1/(1-a),a^2-a+1=0,实数范围内无解

2个元素时
b=1/(1-a)
a=1/(1-b)=1/(1-1/(1-a))=(1-a)/(-a)
a^2-a+1=0
实数范围内无解

所以，集合S中至少有3个元素