Question

抽象函数的解析式求法

已知函数f(x)对任何的实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且f(1)=1
求f(x)的解析式。

要详细版的！！！！
简略版的不要！因为我是新生啊。
十口草兮,你好，你的解法跟我的作业书的答案是类似的，就是代特殊值法，他也是先x=0,y=1
第二行他写：再令x=0,y=1。。。后面不写了。稍微比你详细那么点。。。

摆脱请大侠写详细点！
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参考答案给出的答案是

2x^2 -1 就是看不明白，所以前来问问。

Answer 1

令x=0,y=1,则f(1)=f(0)+2,则f(0)=-1;
令x=0,则f(y)=f(0)+2y²=2y²-1
即f(x)=2x²-1 （x，y互换）

从过程上讲，这就很全面了，你不理解可能是对特殊值代入感到疑惑。
1、本题的x，y允许取任意实数，因此，令x，y取任何一个实数代入f(x+y)=f(x)+2y(x+y)都是成立的。
2、本题令x=0，y=1是针对本题的特殊值，只有这样，才能获得需要的答案。当然，解其他题目是，可以令x，y取得其他实数。

Answer 2

^^难道不用特殊值做得出吗……
求这种抽象函数的解析式，很关键的一步就是想到0这个东西，和结合题目所给的条件，很有用，基本都能求出
∵f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且f(1)=1
令x=0,则有f(y)=f(0)+2y^2①
令x=0，y=1，则有f(1)=f(0)+2=1,∴f(0)=-1②
①-②,得f(y)=2y^2-1
令y=x，则f(x)=2x^2-1

呃，^2指2次方，^3指3次方，如此类推，那你明了吧……
（估计你是高一的吧？原因：……一切尽在不言中）

Answer 3

解法2正确,典型的换元求解析式.
解法1得解题过程就是错得,怎么能用自然数来代替实数进行运算呢?你那一串式子求和,你想一想,实数的时候,右边能求和吗?
也就是你忽略了这个函数的定义域,他是全体实数,不是自然数.你在自然数集中得出的函数解析式,能作为实数集上的解析式吗?好好看看函数定义.定义域是函数的灵魂.

Answer 4

我怎么觉得这题是错的呢？
按一楼的结果算的话
f(1+y) = 2(1+y)(1+y)-1 = 2y^2+4y+1

但是已知条件f(x+y)=f(x)+2y(x+y)对任意x，y成立
所以令x = 1得
f(1+y) = f(1)+2y(1+y) = 2y^2+2y+1
显然跟上面的不一样，为何呢？？

Answer 5

令x=0,y=1,则f(1)=f(0)+2*1*1,则f(0)=-1;
令x=0,则f(y)=f(0)+2y*y=2y*y-1
即f(x)=2*x*x-1