Question

数学高中圆的问题（急求，最好附图）

已知远C：（x+2）^2+y^2=4,相互垂直的两条直线L1,L2都过点A（a，0）。
（1）若L1,L2都和圆C相切，求直线L1,L2的方程。
（2）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线L1,L2都相切，求圆M的方程。
（3）当a=-1时，求L1,L2被圆C所截得弦长之和的最大值。
最好附上图片

Answer 1

已知圆C：(x+2)²+y²=4,相互垂直的两条直线L1,L2都过点A（a，0）。
（1）若L1,L2都和圆C相切，求直线L1,L2的方程。
（2）当a=2时,若圆心为M（1,m）的圆和圆C外切且与直线L1,L2都相切,求圆M的方程。
（3）当a=-1时，求L1,L2被圆C所截得弦长之和的最大值。

解：（1）依题意，圆C的圆心为C(-2,0)，在x轴上，半径为R=2；
两垂直直线L1和L2的交点即为A(a,0)，也在x轴上；
那么画图可知：AC=√2r，即|a+2|=2√2，解得a=-2±2√2；
且由图可知，两垂直直线有两种位置，
其中一条直线斜率为tan45°=1，或tan135°=-1；
则两垂直直线L1和L2的方程为：
y=x+2-2√2和y=-x-2+2√2；
或y=x+2+2√2和y=-x-2-2√2；

（2）设圆M的方程为(x-1)²+(y-m)²=r²，则：
MA=√2r；MC=R+r；即√(m²+1)=√2r；√(m²+9)=2+r；
联立解得：m=√7，r=2；
则圆M的方程为：(x-1)²+(y-√7)²=2²；

（3）该问可以简化成这样的模型：
过半径为2的圆内距圆心为1的点的两条垂直直线
被圆所截的两条弦长的和d的最大值是多少？
设圆心距两垂直直线的距离为m、n，则：m²+n²=1；
所以m²+n²≥2mn，1≥2mn，m²n²≤1/4；
而由此模型易知：d=2√(4-m²)+2√(4-n²)；
两边平方得：d²=4×[4-m²+4-n²+2√((4-m²)(4-n²))]
d²=4×[8-(m²+n²)+2√(16-4(m²+n²)+m²n²)]
=4×[8-1+2√(16-4+m²n²)]
=4×[7+2√(12+m²n²)]
≤4×[7+2√(12+(1/4))]=56；
即d≤2√14，dmax=2√14。

Answer 2

(1)
原心C(-2,0),半径R=2
L1,L2都和圆C相切,且直线L1,L2相互垂直
则:AC=(根号2)R
|a+2|=2(根号2)
a=-2+2(根号2), 或-2-2(根号2)

显然,L1,L2的斜率=1,-1
当a=-2+2(根号2),
直线L1,L2的方程:
y=x+2-2(根号2),
y=-x-2+2(根号2),

当a=-2-2(根号2),
直线L1,L2的方程:
y=x+2+2(根号2),
y=-x-2-2(根号2),

(2)
AM^2=(a-1)^2+m^2=m^2+1
圆M半径^2=AM^2/2=(m^2+1)/2
CM^2=(1+2)^2+m^2=M^2+9
CM=2+((m^2+1)/2)^(1/2)
M^2+9=(2+((m^2+1)/2)^(1/2))^2=4+((m^2+1)/2)+4+((m^2+1)/2)^(1/2)
(M^2+9)^2=32(M^2+1)
M^4-14M^2+49=0
M^2=7, M=+ -(根号7)
圆M的方程: (x-1)^2+(y-m)^2=(m^2+1)/2
(x-1)^2+(y-(根号7))^2=4
或:(x-1)^2+(y+(根号7))^2=4

(3)
设C到l1,l2的距离:p, q, 弦长之和X
则: p^2+q^2=AC^2=1
X=l1弦长 + l2弦长 =2*(R^2-p^2)^(1/2)+2*(R^2-q^2)^(1/2)
=2((4-p^2)^(1/2)+(4-q^2)^(1/2))
(X/2)^2=8-(p^2+q^2)+2((4-p^2)(4-q^2))^(1/2)
=7+2((4-p^2)(4-q^2))^(1/2)
而:(4-p^2)+(4-q^2)=8-(p^2+q^2)=7=定值
当: 4-p^2=4-q^2=7/2时,
(X/2)^2有最大值=7+2*(7/2)=14
X/2=根号14
X最大=2(根号14)
此即所截得弦长之和的最大值