Question

函数极限证明题

证明函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在并且相等

Answer 1

不知道你看的书上对函数极限是怎么理解的，现在按我的理解证明一下：

f(x)当x→x0时极限存在
<=>
对任意数列 {a[n]}，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

f(x)当x→x0左极限存在
<=>
对任意数列 {a[n]}，a[n] < x0，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

f(x)当x→x0右极限存在
<=>
对任意数列 {a[n]}，a[n] > x0，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

证明：

(i)
函数f(x)当x→x0时极限存在 => 左极限和右极限各自存在并且相等
显然（分别取小于x0和大于x0的数列就行了，他们的函数值极限都存在且相等）

(ii)
<=
任取一数列{a[n]}，满足lim a[n] = x0.
把{a[n]}中大于x0的项提取出来，若有无限项，则构成一子列，记为{b[n]}，
则有lim b[n] = x0，因为f(x)右极限存在，所以数列{f(b[n])}极限存且为定值；
把{a[n]}中小于x0的项提取出来，若有无限项，则构成一子列，记为{c[n]}，
则有lim c[n] = x0，因为f(x)左极限存在，所以数列{f(c[n])}极限存且为定值。
若上述只有一个为无限项，则f(a[n])的极限即为该子列的极限。
若两个都有无限项，则由“左极限和右极限相等”得lim f(b[n]) = lim f(c[n])，所以lim f(a[n])存在且 = lim f(b[n]) = lim f(c[n]).
所以f(a[n])的极限始终存在且为定值。
所以f(x)当x→x0时极限存在。

证完

写的不是很完整，差不多这个意思了。

Answer 2

|sinx|<=1
所以|sinx/√x|<=|1/√x|=1/√x
取任意小的正数ε
若1/√n=ε
n=1/ε²
则当x>n时
1/x<ε²
0<1/√x<ε
即|1/√x-0|<ε
即任意一个正数ε
只要x>1/ε²时
都有|1/√x-0|<ε
所以1/√x极限是0

Answer 3

按照严格的极限定义证明如下
证明
x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立
左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε
右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε
所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时
-ε<f(x)-A<ε
即|f(x)-A|<ε
所以
函数f(x)当x->x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

Answer 4

按照严格的极限定义证明如下

证明

x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立

左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε

右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε

所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时

-ε<f(x)-A<ε

即|f(x)-A|<ε

所以

函数f(x)当x->x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

Answer 5

这就是极限存在的定义。