Question

高一数学抽象函数的习题

已知f(x)是定义在（0，+∞)上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y)
(1)求f(1)的值
(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f(1/x)＜2

Answer 1

由定义域知x＞0
f（x/y)=f(x)-f(y),
令y=1得f(x)=f(x)-f(1),
又f(x)在（0,+∞）上的增函数，则f(1)=0
又f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
原不等式f(x+3)-f(1/x)<2可化为
f(x+3)+f(x)<2
再化为f(x+3)-1<1-f(x)
即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)
即f(x+3/6）＜f（6/x）
则0＜(x+3）/6＜6/x
解得0＜x＜（3根号17 -3）/2

Answer 2

解：（1）令x=2 y=1得f（2）=f（2）-f(1)
则f(1)=0
（2）因为f（x）在定义（0，+∞）是增函数
所以f（x-3）-2<f(1/x)
因为f（6）=1所以2=2f（6）
所以f（x-3）-f(6)-f(6)=f((x-3)/6)-f(6)=f((x-3)/36)<f(1/x)
因为f(x)在定义（0，+∞）是增函数
所以f(6)=1
f(x+3)-f(1/x)<2
f((x+3)/(1/x))<2
f(x(x+3))<2
f(x(x+3))<2f(6)
f(x(x+3))-f(6)<f(6)
f(x(x+3)/6)<f(6)
x(x+3)/6<6
x^2+3x-36<0
（-3-3根号17）/2<x<（-3＋3根号17）/2
因为 f(x)是定义在（0，+∞)上的增函数
所以不等式的解为
0<x<（-3＋3根号17）/2

Answer 3

f(x/y)=f(x)-f(y)
f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0

f(6)=1
f(x+3)-f(1/x)<2
f((x+3)/(1/x))<2
f(x(x+3))<2
f(x(x+3))<2f(6)
f(x(x+3))-f(6)<f(6)
f(x(x+3)/6)<f(6)
x(x+3)/6<6
x^2+3x-36<0
（-3-3根号17）/2<x<（-3＋3根号17）/2
因为 f(x)是定义在（0，+∞)上的增函数
所以不等式的解为
0<x<（-3＋3根号17）/2

Answer 4

（1）设x=y，则f（1）=0
（2）有题意可知
f(1/x)=f(1)-f(x)，代入原不等式得
f(x+3)+f(x)<f(6)+f(6)
又因f（x）在（0，+∞)上为增函数，故
（x+3）/6<6/x
解得0<x<（-3+sqrt（153））/2

Answer 5

答案是-3到9不包括-3和9