Question

是否存在常数a,b,c，使等式1^2+3^2+5^2+……+（2n-1）^2=1/3an(bn^2+c)对任意正整数n都成立？

是否存在常数a,b,c，使等式1^2+3^2+5^2+……+（2n-1）^2=1/3an(bn^2+c)对任意正整数n都成立？证明你的结论。
（把n=1，2，3分别代入等式建立了一个方程组，可是解不出a,b,c,麻烦写出解a,b,c的过程。）
不可能是无解，但就是解不出、

Answer 1

n为正整数的情况下，
1^2+3^2+5^2+……+（2n-1）^2
=sigma（4n^2-4n+1)
=4(1^2+2^2+3^3+…+n^2)-4(1+2+3+…+n)+n
注意,重点在于：
首先，1^2+2^2+3^2+…+n^2=[n*(n+1)*(2n+1)]/6=1/3n^3+1/2n^2+1/6n；
其次，1+2+3+…+n＝1/2n^2+1/2n
故1^2+3^2+5^2+……+（2n-1）^2＝4（1/3n^3+1/2n^2+1/6n）-4(1/2n^2+1/2n)+n=……展开，合并同类项……=4/3n^3-1/3n=1/3n(4n^2-1)=1/3an(bn^2+c)
然后就abc就“一一对应”吧。
会了吗？

Answer 2

楼主是不会解还是方程无解？无解的话就说明不存在吧