Question

设a,b,c都为正数，求证：

设a,b,c都为正数，求证：
a+b＜c+d
(a+b)(c+d)＜ab+cd
(a+b)cd＜ab(c+d)
中至少有一个不正确

Answer 1

利用反证法

证明：假设不等式①、②、③都成立，
因为a，b，c，d都是正数，
所以由不等式①、②得:
(a+b)^2<(a+b)(c+d)<ab+cd……（3）

由不等式③得:
(a+b)cd<ab(c+d)<=[(a+b)/2]^2*(c+d)……（1）
因为a+b>0,
所以(1)式可变成：4cd<(a+b)(c+d)……（2）

将（2）式综合不等式②，得：
4cd<ab+cd,3cd<ab
即cd<ab/3

综合（3）式，得：
(a+b)^2<ab+cd<4ab/3,
即a^2+b^2<-2ab/3,显然矛盾

∴不等式①、②、③中至少有一个不正确。