Question

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0.从圆外一点P（X1,Y1)向圆引一条切线

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0.从圆外一点P（X1,Y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有┃PM┃=┃PO┃，求使┃PM┃最小的P点坐标。
急啊。
哪个大侠帮忙的？

Answer 1

解：x²+y²+2x-4y+3=0

  （x+1)²+（y-2)²=2

  圆心C(-1,2),半径√2（如图）

 ┃PM┃=┃PO┃，则┃PM┃²=┃PO┃²

 ┃PM┃²=┃PC┃²-┃CM┃²=┃PO┃²

（X1+1)²+(Y1-2)²-2=X1²+Y1²

 2X1-4Y1+3=0,2X1=4Y1-3

求┃PM┃最小值，即┃PO┃=√(X1²+Y1²)最小值

另S=√(X1²+Y1²

4S²=4(X1²+Y1²)=（2X1）²+4Y1²=(4Y1-3)²+4Y1²=20(Y1-3/5)²+9/5

4S² ≥9/5

S ≥3√5/10

此时Y1=3/5,X1=-3/10 

所以P点坐标（-3/10,3/5)

┃PM┃最小值为3√5/10

Answer 2

(好象还挺复杂的....)

首先..改写下圆的表达式...
改成...(x+1)^2+(y-2)^2=2....
所以这个圆是以(-1,2)为圆心,根号2为半径的圆...

然后列下对点P的要求...也就是P点坐标X1,Y1应满足的方程....
设圆心是C,半径是R
因为┃PM┃=┃PO┃，所以┃PM┃^2=┃PO┃^2，
┃PM┃^2=PC^2-R^2=(X1+1)^2+(Y1-2)^2-2
┃PO┃^2=X1^2+Y1^2
两个式子相等,整理下..得到...
2X1-4Y1+3=0...

是一条直线..画出来..所有直线上的点..都可以满足P点的要求...所以只要找到┃PO┃最小的那点即可...
也就是过O点..向直线做垂线...与直线交点即为所求....
可以利用向量OP方向与直线的法向量平行..也就是
OP=k(2,-4),再加上P点在直线上..算出k=-3/20
所以P点坐标为..(-0.3,0.6)...

(如果不用向量..可以直接解直角三角形..同样可以求出P...会稍微复杂一点点..恩...)