Question

一道微积分的证明题。。。

设函数f(x)在R上连续，且limf(x)=A（有限值）（x趋向无穷）。证明：f(x)在R上必有界。
谢谢!

Answer 1

这道题很不错，需要有点抽象的思维能力。

为了帮助理解，你可以先画出这样一个图，在Y轴上取个A点，画一条代表A的水平线，然后随意画一个f(x)，根据题意和极限的定义，这个f(x）的曲线在两端，也就是正无穷和负无穷方向上的走向都是和代表A的水平线非常接近的，然后在中间部分是可以随意波动的连续曲线。

根据这个图形，再来理论证明：

从该题中抓出两个关键条件，一是极限存在=A ，二是函数连续。下面有可以用这个两个关键条件，把f(x)的图形分成两个部分加以证明。

一、“两端”部分：

由极限的定义：（打字太麻烦我直接粘过来了。这里本来应该用函数极限的定义比较严谨，但是因为是x趋于无穷的情况，所以用数列极限更容易理解，函数极限其实道理完全一样，就是解释起来麻烦一点。）

“设|Xn|为一数列，如果存在常数A对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式
|Xn - A|<ε
都成立，那么就成常数A是数列|Xn|的极限，记为lim Xn = A（n→∞）”

那么对于本题的f(x)，由于limf(x)=A（有限值）（x趋向无穷）。由上述定义，对于给定的有限正数"ε1"，一定可以在f(x）的右端取到一个数"X1"（相当于定义里的正整数N） ，使得当x>X1 时，不等式|f(x) - A|<ε1 恒成立，解这个不等式，即得：
A - ε1 < f(x) < A + ε1 （x>X1，A、ε1为有限数）
这说明当x>X1 时，f(x) 是有界的，上下界如上不等式所示。

同理，对于给定的有限正数"ε2"，一定可以在f(x）的左端取到一个数"X2" ，使得当x<X2 时，不等式|f(x) - A|<ε2 恒成立，解这个不等式，即得：
A - ε2 < f(x) < A + ε2 （x<X2，A、ε2为有限数）
这说明当x<X2 时，f(x) 是有界的，上下界如上不等式所示。

二、“中间”部分：

当 X2《 x 《 X1 时，由于f(x) 连续，由“闭区间上连续函数必有界”的性质可知，f(x)必有最大值M和最小值N，即：
N < f(x) < M （X2《 x 《 X1 ，M、N为有限数）

综合上述三个不等式的结论：当x取任意实数时，f(x)均有界。

Answer 2

limf(x)=A（有限值）（x趋向无穷）。
对ε=1,存在X>0,当|x|>X时.有|f(x)-A|<1-->A-1<f(x)<A+1
在[-X,X]上.f(x)连续.所以存在M,使|f(x)|<M
取N=max(M,|A|+1)
-->在R上,|f(x)|<N