Question

已知函数f﹙x﹚=lnx-1/2ax²+﹙1-a﹚x ﹙1﹚讨论f﹙x﹚的单调性

﹙2﹚设a>0，证明 当0＜x＜1/a时，f﹙1/a+x﹚＞f﹙1/a-x﹚ 求详解

Answer 1

解：①函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=lnx-ax2+（2-a）x，
∴f'（x）=
1
x
−2ax+2−a=
−2ax2+(2−a)x+1
x
=−
(2x+1)(ax−1)
x
．
（1）若a＞0，则由f′（x）=0，得x=
1
a
，
当x∈（0，
1
a
）时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
当x∈（
1
a
，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数单调递减．
（2）当a≤0时，f'（x）＞0恒
成立，
因此f（x）在（0，+∞）单调递增．
②设函数g（x）=f（
1
a
+x）-f（
1
a
-x），则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，
g′（x）=
a
1+ax
+
a
1−ax
−2a＝
2a3x2
1−a2x2
，
当x∈（0，
1
a
）时，g′（x）＞0，而g（0）=0，
∴g（x）＞0，
故当0＜x＜
1
a
时，f（
1
a
+x）＞f（
1
a
-x）．