Question

已知椭圆x^2/2+y^2=1，则椭圆内接矩形面积的最大值为？

Answer 1

内接矩形中心为（0,0），
第一象限的顶点（x，y）在椭圆上，即满足x^2/2+y^2=1
所以矩形面积为4xy
由不等式a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时取“=”
则x²/2+y²≥2*（x/√2）y=√2xy，当且仅当x/√2=y时取“=”
4xy≤2√2*（x²/2+y²）=2√2，当且仅当x/√2=y时取“=”
此时x=1，y=√2/2
所以，内接矩形面积的最大值为2√2

Answer 2

答：

椭圆为x²/2+y²=1
内接矩形，根据对称性知道矩形的关于原点对称
设矩形顶点为（a，b），则两位3个顶点为（a，-b）、（-a，-b）、（-a，b）
所以：a²/2+b²=1>=2*(a/√2)*b=√2ab
所以：ab<=√2/2
距离边长为2a和2b
面积S=2a*2b=4ab<=4*√2/2=2√2
当且仅当a/√2=b即a=√2b时面积取得最大值为2√2

Answer 3