Question

已知抛物线y=x05+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3)，

对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D。（1）求抛物线的表达式（2）求直线BC的表达式（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P,Q，且点P在第三项显。1当线段PQ=3/4AB时，求tan∠CED的值2当以C，D，E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出P的坐标

Answer 1

1.直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后的方程式是y=kx+3，这就是BC直线啦，将点B（3，0）代入，得k=-1，所以BC直线的解析式是y+x-3=0
C点在y轴上，当x=0时，y=3，所以C点的坐标是（0，3）
将B、C两点代入抛物线得9+3b+c=0，3=c，所以b=-4，c=3，所以抛物线的方程是y=x^2-4x+3

2.由1得，A（1，0），D（2，-1），设坐标轴原点为P，抛物线对称轴与x轴交于Q点。所以QA=1,OA=1
由1得，三角形OBC为等腰直角三角形。所以tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=tan（45°-∠ACO）=（tan45°-tan∠ACO）/（1+tan45°*tan∠ACO）=（1-1/3）/（1+1/3）=1/2。
又∠APD=∠ACB，所以tan∠APD=tan∠ACB=QA/PQ=1/PQ=1/2,所以PQ=2
因为P点在抛物线的对称轴上，所以P点的横坐标是2
又P点有两点，所以纵坐标为正负2
所以P点的坐标为（2，2），（2，-2）

3.设CD与x轴的交点为E，很明显，三角形OEC与三角形QED相似，所以有
QE/OE=(2-OE)/OE=DQ/OC=1/3,所以OE=3/2.
所以tan∠OCA=OA/OC=1/3,tan∠OCD=tan∠OCE=OE/OC=1/2
由tan（∠OCA+∠OCD）=（tan∠OCA+tan∠OCD）/（1-tan（∠OCA*tan∠OCD）=(1/3+1/2)/(1-1/3*1/2)=1
又0＜∠OCA＜45°，0＜∠OCD＜45°，所以0＜∠OCA+∠OCD＜90°
所以∠OCA+∠OCD=45°，为所求