Question

好难。已知函数f(x)=x^2+alnx.

1).当a=-2时，求函数f(x)的单调递减区间。 2）若g(x)=f(x)+2/x在[1,+无穷)上时单调函数，求实数a的取值范围。

Answer 1

解： 1) 函数f(x)=x^2+alnx的定义域是（0，+∞）， 因为a=-2 所以f(x)=x^2-2lnx f′(x)=2x-2/x。 令f′(x)=0，得x=1. 所以当0<x<1时，有f′(x)=2x-2/x<0, 故函数f(x)是在区间（0，1）上递减。 2) g(x)=f(x)+(2/x)=x^2+alnx+(2/x) 所以：g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2 因为x∈[1,+∞)，所以：x^2＞0 则，令h(x)=2x^3+ax-2 要满足g(x)在[1,+∞)上是单调增函数，则g'(x)在该区间上大于零， 即函数h(x)在该区间上的最小值大于零. h'(x)=6x^2+a ，h''(x)=12x＞0 所以，h'(x)为单调增函数 所以，h'(x)在[1,+∞)上的最小值为h'(1)=6+a 所以，6+a＞0 则a＞-6

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