Question

如图,在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,AD平行于BC,BD交AC与点E,BD=BC。求证：CE=CD

Answer 1

过A做AF⊥BC于F，过D做DG⊥BC于G

∵AD∥BC，

那么AF=DG

∵∠BAC=90°，AB=AC，那么△ABC是等腰三角形，∠ACB=∠ABC=45°

∴AF=1/2BC

那么DG=1/2BC

∵BD=BC

∴RT△BDG中：DG=1/2BD

那么∠DBG=∠DBC=30°

∴∠BDC=∠BCD=(180°-∠DBC)/2=(180°-30°)/2=75°

即∠EDC=75°

∠DEC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°

∴∠DCE=∠DEC=75°

∴CD=CE

Answer 2

证明：
作AM⊥BC，DN⊥BC，
显然四边形AMND是矩形
所以AM＝DN
因为AB⊥AC，AB＝AC
所以△ABC是等腰直角三角形
所以AM＝BC/2，∠ACB＝45°
因为AD＝BC
所以DN＝BD/2
所以根据“直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则所对锐角等于30°”
得 ∠DBC＝30°（当然也可用三角函数得出这个结论）
所以∠BDC＝∠BCD＝75°
所以∠DCE＝75°－45°＝30°
所以∠DEC＝180°－75°－30°＝75°
所以∠CDE＝∠CED
所以CD＝CE
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