Question

（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax 2 +bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2

（本题满分12分）如图1，抛物线y=ax 2 +bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）抛物线y=ax 2 +bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点 ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0解得a＝1b＝4 ∴抛物线的解析式为y=x 2 +4x+3 （2）由（1）配方得y=(x+2) 2 -1 ∴抛物线的顶点M（-2，,1）∴直线OD的解析式为y= x 于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，  h）， ∴平移的抛物线解析式为y=（x-h） 2 + h. ①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h 2 + h=9， 解得h= .  ∴ 当  ≤h< 时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点. ②当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由方程组y=（x-h） 2 + h,y=-2x+9. 得 x 2 +（-2h+2）x+h 2 + h-9=0，∴△=（-2h+2） 2 -4（h 2 + h-9）=0， 解得h=4. 此时抛物线y=（x-4） 2 +2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意. 综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或  ≤h< . （3）方法1将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x 2 ，      设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）. 假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.∵△PEF的内心在y轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，...............9分∴GP/PH=GE/HF, ∴-x E /x F =(y E -t)/(y F -t)=(kx E +3-t)/(kx F +3-t) ∴2kx E ·x F =（t-3）（x E +x F ） 由y=x 2 ，y=-kx+3.得x 2 -kx-3=0. ∴x E +x F =k,x E ·x F =-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PEF的内心在y轴上. 方法2 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）,点E，F的坐标分别为（m,m 2 ）（n,n 2 ）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的对称点R（-m,m 2 ）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使△PEF的内心在y轴上.

略