Question

设Sn为数列{an}的前N项和，且有S1=a，Sn+Sn-1=3n2，n=2，3，4，…（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若

设Sn为数列{an}的前N项和，且有S1=a，Sn+Sn-1=3n2，n=2，3，4，…（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．

Answer 1

解答：解（Ⅰ）当n≥2时，由已知S_n+S_n-1=3n² …①
于是S_n+1+S_n=3（n+1）² …②
由②-①得a_n+1+a_n=6n+3…③
于是a_n+2+a_n+1=6n+9 …④
由④-③得a_n+2-a_n=6…⑤
上式表明：数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列．
又由①有S₂+S₁=12，∴a₂=12-2a，
由③有a₃+a₂=15，a₄+a₃=21，∴a₃=3+2a，a₄=18-2a，
∴a_2k=a₂+6（k-1）=12-2a+6（k-1）（k∈N^*），
a₁=a，a_2k+1=a₃+6（k-1）=3+2a+6（k-1）（k∈N^*），
（Ⅱ）∵数列{a_n}是单调递增数列，
∴a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2对任意的k∈N^*成立，
∴a₁＜a₂且a₂+6（k-1）＜a₃+6（k-1）＜a₄+6（k-1），
∴a₁＜a₂＜a₃＜a₄，则a＜12-2a＜3+2a＜18-2a，
解得：

9

4

＜a＜

15

4

．
∴a的取值范围是

9

4

＜a＜

15

4

．