Question

已知抛物线y2=8x的焦点为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为42，左右顶点分别为A，B

已知抛物线y2=8x的焦点为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为42，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点．（1）求椭圆标准方程：（2）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，且|S1-S2|=4，求直线l方程；（3）椭圆的上顶点G作直线m、n，使m⊥n，直线m、n分别交椭圆于点P、Q．问：PQ是否过一定点，若是求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）由题设可知抛物线y²=8x的焦点坐标为（2，0）
故椭圆中的c=2，又椭圆的a=2

2

，
所以b²=a²-c²=4
故椭圆标准方程为：

x2

8

+

y2

4

＝1…（4分）
（2）由题意可设直线l：x=my-2，代入椭圆方程得（m²+2）y²-4my-4=0
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（-2

2

，0），B（2

2

，0）
则y1+y2＝

4m

m2+2

，…（6分）
于是|S1?S2|＝

1

2

×4

2

×|y1+y2|＝2

2

|

4m

m2+2

|＝4
解得m=±

2

，故直线l的方程为x±

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