Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1与A1D所成的角为α1，AB1与BC1所成的角为α2，AA1与BD1所成的角为α3，则有

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1与A1D所成的角为α1，AB1与BC1所成的角为α2，AA1与BD1所成的角为α3，则有（　　）A．α3＜α2＜α1B．α2＜α3＜α1C．α2＜α1＜α3D．α3＜α1＜α2

Answer 1

解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，A₁D⊥面ABD₁，∴A₁D⊥BD₁，BD₁与A₁D所成的角为α₁=90°；
连接DC₁、BD，AB₁∥DC₁，AB₁与BC₁所成的角即DC₁与BC₁所成的角，△C₁BD为等边三角形，∴α₂=60°，
设正方体的棱长为1，AA₁∥DD₁，则∠BD₁D 即为AA₁和BD₁所成的角．
在Rt△D₁BD中，tan∠BD₁D=

DD1

BD

=

2

1

=

2

，即tanα₃=

2

，tanα₂=tan60°=

3

，tanα₂＞tanα₃即α₂＞α₃，
∴α₃＜α₂＜α₁
故选：A．