Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a

已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（ a+b 2 ）＜（b-a）ln2．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）． f′(x)= 1 1+x -1 ．令f′（x）=0，解得x=0． 当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0， 故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0． （Ⅱ）证明： g(a)+g(b)-2g( a+b 2 )=alna+blnb-(a+b)ln a+b 2 = aln 2a a+b +bln 2b a+b ． 由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0）， 由题设 0＜a＜b，得 b-a 2a ＞0，-1＜ a-b 2b ＜0 ， 因此 ln 2b a+b =-ln(1+ b-a 2a )＞- b-a 2a ， ln 2b a+b =-ln(1+ a-b 2b )＞- a-b 2b ， 所以 aln 2a a+b +bln 2b a+b ＞- b-a 2 - a-b 2 =0 ． 又 2a a+b ＜ a+b 2b ， aln 2a a+b +bln 2b a+b ＜ aln a+b 2b +bln 2b a+b ．=（b-a）ln 2b a+b ＜（b-a）ln2 综上 0＜g(a)+g(b)-2g( a+b 2 )＜(b-a)ln2 ．