Question

已知数列{an}满足：Sn=1-an（n∈N*），其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）试求{an}的通项公式；（Ⅱ）若

已知数列{an}满足：Sn=1-an（n∈N*），其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）试求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：{bn}=nan，试求{bn}的前n项和公式Tn；（III）设cn=11+an+11?an+1，数列{cn}的前n项和为Pn，求证：Pn＞2n-12．

Answer 1

（Ⅰ）S_n=1-a_n①
∴S_n+1=1-a_n+1②
②-①a_n+1=-a_n+1+a_n
∴a_n=1=

1

2

a_n（n∈N^*）又n=1时，a₁=1-a₁
∴a₁=

1

2

，a_n=

1

2

?(

1

2

)n?1=(

1

2

)n（n∈N^*）
（Ⅱ）b_n=

n

an

=n?2ⁿ，（n∈N^*）
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ③
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹④
③-④得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1?2n)

1?2

-n×2ⁿ⁺¹
整理得：T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹=2，（n∈N^*）
（III）∵c_n=

1

1+an

+

1

1?an+1

=

1

1+ ( 1 2 )n

+

1

1? ( 1 2 )n+1

=

2n

2n+1

+

2n+1

2n+1?1

=1-

1

2n+1

+1+

1

2n+1?1

=2-（

1

2n+1

-

1

2n+1?1

）
又

1

2n+1

-

1

2n+1?1

=

2n+1?1?(2n+1)

(2n+1)(2n+1?1)

=

2n?2

2n+1+2n?1

＜

2n

2n+1+2n?1

=

1

2n+1+1? 1 2n

＜

1

2n+1

∴P_n＞2n-（

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

）=2n-

1 22 (1? 1 2n )

1? 1 2

=2n-

1

2

+

1

2n+1

＞2n-

1

2

，（n∈N^*）