Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC．（1）求cosA的值；（2）若 a=1，cos

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=ccosB+bcosC．（1）求cosA的值；（2）若 a=1，cosB+cosC= 3 2 ，求边c的值．

Answer 1

（1）由2acosA=ccosB+bcosC及正弦定理得： 2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C），（4分） 又B+C=π-A， 所以有2sinAcosA=sin（π-A），即2sinAcosA=sinA． 而sinA≠0，所以 cosA= 1 2 ；…（6分） （2）由 cosA= 1 2 及0＜A＜π，可得：A= π 3 ， ∴ B+C=π-A= 2π 3 ， 由 cosB+cosC= 3 2 ，得 cosB+cos( 2π 3 -B)= 3 2 ， 即 cosB- 1 2 cosB+ 3 2 sinB= 3 2 ， 可得： sin(B+ π 6 )= 3 2 ，…（8分） 由 A= π 3 ，知 B+ π 6 ∈( π 6 ， 5π 6 ) ， 于是 B+ π 6 = π 3 或 B+ π 6 = 2π 3 ， 所以 B= π 6 或 B= π 2 ，…（10分） 若 B= π 6 ，则 C= π 2 ， 在直角△ABC中， sin π 3 = 1 c ， 解得： c= 2 3 3 ； 若 B= π 2 ，在直角△ABC中， tan π 3 = 1 c ， 解得： c= 3 3 ．…（12分）