如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，AB=BC=AA1=3，线段AC、A
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，AB=BC=AA1=3，线段AC、A1B上分别有一点E、F且满足2AE=E...
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，AB=BC=AA1=3，线段AC、A1B上分别有一点E、F且满足2AE=EC，2BF=FA1．（1）求证：AB⊥BC；（2）求点E到直线A1B的距离；（3）求二面角F-BE-C的平面角的余弦值．
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（1）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
∴AD⊥平面A1BC，
又∵BC?平面A1BC，∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC．
又∵AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，
又∵AB?侧面A1ABB1，∴AB⊥BC．…（4分）
（2）解：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，
以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A1（0，3，3）
∵线段AC、A1B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA1，
∴E（1，2，0），F（0，1，1），
∴
＝(?1，?1，1)，
＝(0，3，3)．
∵
?
=0，∴EF⊥BA1，
∴点E到直线A1B的距离d＝|EF|＝
．…（8分）
（3）解：
＝(1，2，0)，
＝(0，1，1)，
设平面BEF的法向量
则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
∴AD⊥平面A1BC，
又∵BC?平面A1BC，∴AD⊥BC．
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC．
又∵AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，
又∵AB?侧面A1ABB1，∴AB⊥BC．…（4分）
（2）解：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，
以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A1（0，3，3）
∵线段AC、A1B上分别有一点E、F，满足2AE=EC，2BF=FA1，
∴E（1，2，0），F（0，1，1），
∴
| EF |
| BA1 |
∵
| EF |
| BA1 |
∴点E到直线A1B的距离d＝|EF|＝
| 3 |
（3）解：
| BE |
| BF |
设平面BEF的法向量
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