Question

已知，如图，在三角形abc中，ab=ac,以ab为直径的圆o分别交bc，ac于点d，e，连接eb交

已知，如图，在三角形abc中，ab=ac,以ab为直径的圆o分别交bc，ac于点d，e，连接eb交od于点f
（1）求证：od垂直be
（2）若de=根号5，ab=5，求ae的长

Answer 1

（1）∴∠ABC=∠C，又∵∠1=∠ABC，∴∠1=∠C，∴△DEC是等腰三角形。

（2）∴∠ABC=∠C，又∵∠1=∠ABC，∴∠1=∠C，∴△DEC是等腰三角形，所以AB/AF=BD/FE，所以AB·EF=AF·BD。

等腰三角形的性质：

（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。

（2）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

（3）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

（4）三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。

（5）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。

（6）三角形斜边上的高等于斜边的一半。

Answer 2

（1）
AB=AC
角C=角ABC
OB=OD
角ABC=角ODB
角C=角ODB
AC平行OD
AB是直径
角AEB=90度
角OFB=90度
OD垂直BE
（2）
设AE=x，∴BD=ED=根号5 ，
OD⊥EB
OF= AE/2= x/2
DF=OD-OF=2.5-x/2
在Rt△DFB中，BF^2=DB^2-DF^2
在Rt△OFB中，BF^2=OB^2-OF^2
解得x=3 ，即AE=3

Answer 3

连接ad,则三角形adb内接于圆且过圆心，故三角形adb为直角三角形。o为斜边中点，od=(1/2)ab=(1/2)ac,即od是三角形abc的中位线。od平行于ac。三角形abe为直角三角形（理由同adb)，即ae垂直be, 而od与ae平行，故od与be垂直。

Answer 4

（1）
AB=AC
角C=角ABC
OB=OD
角ABC=角ODB
角C=角ODB
AC平行OD
AB是直径
角AEB=90度
角OFB=90度
OD垂直BE
（2）
设AE=x，∴BD=ED=根号5 ，
OD⊥EB
OF= AE/2= x/2
DF=OD-OF=2.5-x/2
在Rt△DFB中，BF^2=DB^2-DF^2
在Rt△OFB中，BF^2=OB^2-OF^2
解得x=3 ，即AE=3，