Question

（2014?湖南模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD与平面ABCD所成角的正

（2014?湖南模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和12，AP=2，E，F依次是PB，PC的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEFD；（Ⅱ）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

（I）∵PA⊥平面ABCD，直线AB是PB在平面ABCD内的射影
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得Rt△PAB中，tan∠PBA=

PA

AB

=1，可得AB=AP=2
同理，∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，得Rt△PAD中，tan∠PDA=

PA

AD

=

1

2

，可得AD=2AP=4
∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AD⊥PA
∵矩形ABCD中，AD⊥AB，且AD∩AP=A，∴AD⊥平面PAB
∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB
又∵Rt△PAB中，AB=AP，且E为PB中点，∴PB⊥AE
∵AD、AE是平面AEFD内的相交直线，
∴PB⊥平面AEFD；       …（6分）
（II）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由（I）知AD=4、AB=2，则各点坐标分别是
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
P（0，0，2），
∴E（1，0，1），F（1，2，1），

EC

=（1，4，-1），
又∵AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的一个法向量为

n

=

AB

=（2，0，0），
设直线EC与平面PAD所成的角为α，则
sinα=

| EC ? n |

| EC |?| n |

=

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