Question

大一微积分的定积分的换元积分法求解~

令x-1=t，那f(t)中的两个式子不是应该也改变吗，为什么只把x改成了t，x/(1+x^2)难道不是该写成 (t+1)/(1+(t+1)^2)吗？ 求解啊 要哭了

Answer 1

不用，因为x - 1 = t这个转换过程中已经把被积函数改变了
你没看到ƒ(x - 1)改为ƒ(t)吗？所以ƒ(x - 1)里面的函数也都全部转为了ƒ(t)的函数
所以可以直接用上面的公式

追问

那这道题不是换元积分法咯？

追答

是用了换元，只不过x和t之间的换元是隐式的，你知道显函数和隐函数吧？
隐式换元是函数表达式之间的转换，换元过程全程都只是在积分限和表达式的括号内转变而已
例如∫(a，b) ƒ(x) dx = ∫(a，b) ƒ(a + b - x) dx，这个积分已经通过设t = a + b - x换元了
可以看到括号里的函数其实是已经转换了
例如∫(0，π/4) ln(1 + tanx) dx，用上面那个公式得
= ∫(0，π/4) ln[1 + tan(0 + π/4 - x)] dx = ∫(0，π/4) ln[1 + tan(π/4 - x)] dx
所以你看到这个分别吗？

ƒ(x - 1)这个表达式我们不知道的，设其表达式为F(x)吧
用换元x - 1 = t，即x = t + 1
那么F(x) = F(t + 1)
而这个F(t + 1)对应的表达式就是t/(1 + t^2)和1/[1 + e^(- t)]了