Question

已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F.（1）

已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

证明：（1）连接DO． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠C=60°． ∵OA=OD， ∴△OAD是等边三角形． ∴∠ADO=60°， ∵DF⊥BC， ∴∠CDF=90°﹣∠C=30°， ∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°， ∴DF为⊙O的切线； （2）∵△OAD是等边三角形， ∴AD=AO=AB=2． ∴CD=AC﹣AD=2． Rt△CDF中， ∵∠CDF=30°， ∴CF=CD=1． ∴DF= ； （3）连接OE，由（2）同理可知CE=2． ∴CF=1， ∴EF=1． ∴S 直角梯形FDOE =（EF+OD）?DF= ， ∴S 扇形OED = = ， ∴S 阴影 =S 直角梯形FDOE ﹣S 扇形OED = ﹣ ．

（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可； （2）由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长； （3）连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE-S扇形OED求得阴影部分的面积．