Question

高等数学，有关多元函数可微性的一道题

我知道答案是C
我想问的是D选项，那两个式子不就是相当于两个偏导数连续吗？

Answer 1

D项推不出偏导数连续，偏导数连续是任意方向趋近。D只是x，y两个方向 是得不到偏导数连续的 。

追问

什么意思，二元函数，不就x,y两个方向吗？

追答

D项第一个极限 是让 y=0 x再趋近0（比如我y=0 ，x从1开始趋向于0） 从空间直观上来看 这只是一个x轴的方向 第二项极限也同样
再看偏导数连续的定义 是让x，y同时趋向于0 ，（比如y从1趋向于0，x也从1开始趋向于0 或）
对比第一个极限 在空间直观上来看 极限是趋近的方向是（1,1）到（0,0）的方向。
画个 图就知道了，这样说起来不方便 也不是很严谨。
ps 很多定义其实也写清楚了，只是不太好长篇大论的写清楚。

追问

偏导数的定义不就是固定一个变量，然后只有另一个变量在动，相当于一元函数？
你说的意思是按照连续的定义而不是按照偏导数的定义？要考虑无穷多种趋近方式，是这样吗

追答

多元函数的连续性 比一元函数连续 的条件要难很多。
偏导数的定义是定义 ，在考虑的连续性的时候 是不能将两个变量分离开来讨论的。

比如， 考擦多元函数的极限存在的时候 limf（x，y）， x、y趋向 0
有时候为了证明这个极限不存在我们会让 x趋向于0 ，y=kx或kx^2或…… 各种各样的形式 然后得到不同y的趋近方式时极限不等，故极限不存在。 y的趋近方式的不同 “类似 ”方向的不同（不是很严谨，这种说法）
二元函数虽然只是多了一个变量，但它的连续性，可微性的要求增加了很多。