Question

由平面x+y-z=0,x-y-z=0,z=0,x=1所围处于第一第四卦限的区域，计算积分∫∫∫x

dx答案为什么是四分之一，算的是二分之一

Answer 1

答：1/4

 

这个区域Ω是个四面椎体，底部是个等腰三角形

x+y-z=0和x-y-z=0，平行于x轴的交面，为y=0

即区域Ω是关于x轴对称的

而被积函数x关于y是偶函数，可用对称性

设Ω1为Ω在第一挂限的部分：

x-y-z≤0，0≤x,y≤1

∫_(Ω) x dxdydz

= 2∫_(Ω1) x dxdydz

= 2∫(0,1) x dx ∫(0,x) dy ∫(0,x-y) dz

= 2∫(0,1) x dx ∫(0,x) (x-y) dy

= 2∫(0,1) x * x²/2 dx

= ∫(0,1) x³ dx

= 1/4