Question

在使用泰勒公式计算函数近似值时，如何得到误差的大致范围？

例如，估算ln(9/8)(精确到0.001)，怎样确定所使用泰勒公式的阶数？如何进行关于误差范围的补充性文字说明？

Answer 1

三阶泰勒展开，它的误差是这个式子中的第四项，此时的a=4，而不是3了。

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

Answer 2

追问

取n=2时，近似值约为0.1171，四舍五入得0.117。但是ln(9/8)精确值大约是0.1177，四舍五入得0.118，两者不吻合。是否应该考虑再往下求一阶？

追答

你不是要求小于0.001的精度吗？近似解为0.1172，精确解为0.1178。0.1178-0.1172=0.0006<0.001，这符合要求，没错。

追问

是精确到0.001，不是误差小于0.001啊...

追答

我理解错了。精确度为0.001，则近似值为0.117，其精确值在0.1165~0.1174之间。余项的预估值要改。