Question

关于函数极限局部保号性的问题，恳请大神出面解惑，感激不尽

关于函数极限局部保号性的问题，恳请大神出面解惑，感激不尽从高数同济六版上册p37截取到了函数局部保号性的推论(即图1)，我认为把命题中的等于号去掉命题依然成立。但是有同学提出反例：数列1/n的每一项都＞0但是lim[n→+∞](1/n)＝0，故等号不可去掉。我觉得根据 书上提到的邻域的概念(图2，同济六版上册26页)，邻域必须是边界不为∞的开区间，反例是不合适的。
所以想请教相关行家，这个推论里面的等号到底能不能去掉，上面所谓的反例又是不是合适的，说了这么多，劳烦诸位相助，接开疑惑，谢谢大家！

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Answer 1

那么看这个函数
f（x）=x²，这个函数在x=0的去心邻域内（去心邻域不包括x=0这个点），恒有f（x）＞0
但是lim（x→0）f（x）=lim（x→0）x²=0
所以等号不能取掉。
去心邻域内恒为正的函数，极限可能是0
去心邻域内恒为负的函数，极限也可能是0，如g（x）=-x²，在x=0的去心邻域内，恒为负，但是在x=0点的极限也是0.

追问

非常感谢！