Question

正实数x,y 已知xy(x-y)=4求x+y最小值

Answer 1

最简单算法，不用画图，不用求一元二次方程。
设f(x)=xy(x-y)-4,g(x)=x+y
再构造复合函数:
L(X)=f(x)+λg(x)=xy(x-y)-4+λ(x+y)
求偏导数
Lx=2xy-y^2+λ
Ly=x^2-2xy+λ
存在极值，Lx=0,Ly=0
Lx=2xy-y^2+λ=0
Ly=x^2-2xy+λ=0
解得2xy=y^2-λ=x^2+λ
λ=(y^2-x^2)/2
带入Lx=0得
2xy=(x^2+y^2)/2
则
2xy=(x-y)^2
6xy=(x+y)^2
x,y为正数，则x-y=√（2xy）
下面只要算出xy值即可。
带入最开始的条件等式
得(xy)^(1.5)=2√2
xy=2
所以x+y=2√3
此时x=√3+1,y=√3-1

补充说明一下，这里用到的知识为高等数学里的拉格朗日求极值方法，如果是高中的话还是建议用函数作图法或一元二次方程，或者不等式方法求解吧。