Question

已知x1,x2是关于x的方程（x-2）（x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数...

已知x1,x2是关于x的方程（x-2）（x-m)=(p-2)(p-m)的两个实数根.（1）求x1,x2的值； （2）若x1,x2是某直角三角形的两直角边长,问当实数m,p满足什么条件时,此直角三角形的面积最大?并求出最大值.

Answer 1

（1）(x
-
2)(x
-
m)
=
(p
-
2)(p
-
m)
展开得：x^2
-
mx
-
2x
+
2m
=
p^2
-
mp
-
2p
+
2m
消去相同项
2m
：
x^2
-
mx
-
2x
=
p^2
-
mp
-
2p
x^2
-
p^2
-
mx
-
2x
+
mp
+
2p
=
0
提取后两项的公因式
(m+2)
：
x^2
-
p^2
-
[(m
+
2)x
-
(m
+
2)p]
=
0
运用平方差公式,同时提取后两项的公因式
(x-p)
：
(x
+
p)(x
-
p)
-
(x
-
p)(m
+
2)
=
0
提取公因式
(x-p)
：
(x
-
p)(x
+
p
-
m
-
2)
=
0
因此：
x1
-
p
=
0
x2
+
p
-
m
-
2
=
0
易得：
x1
=
p
x2
=
-p
+
m
+
2
（2）
若x1、x2是某直角三角形的两直角边的长,设该直角三角形的面积为S,则有：
S
=
p(-p
+
m
+
2)
配方：
S
=
-p^2
+
mp
+
2p
=
-p^2
+
(m
+
2)p
=
-{p^2
-
2*[(m
+
2)/2]p
+
[(m
+
2)/2]^2
-
[(m
+
2)/2]^2}
=
-[p
-
(m
+
2)/2]^2
+
(m
+
2)^2/4
=
-[p
-
(m/2
+
1)]^2
+
(m^2
+
4m
+
4)/4
=
-[p
-
(m/2
+
1)]^2
+
(m^2)/4
+
m
+
1
∵
二次项系数
a
=
-1
<
0
∴
S
有最大值
当
p
=
m/2
+
1
时,
S
有最大值
(m^2)/4
+
m
+
1
∵
在该直角三角形中,p
>
0
即
m/2
+
1
>
0
∴
m
>
-2
答：x1
=
p,x2
=
-p
+
m
+
2；
当
m
>
-2
且
p
=
m/2
+
1
时,此直角三角形的面积最大,最大值为[(m^2)/4
+
m
+
1].