Question

求曲线y=e^2x,x轴及该曲线过原点的切线所围成图形面积

Answer 1

设切点为（x,e^x)
y=e^x的导数e^x
由导数等于切线斜率得e^x=(e^x-0)/(x-0),解出x=1，所以切点为（1，e)
切线方程为：y=e^x*x,
画图可知，切线、y轴及y=e的x方所围成的图形是一个不规则图形，要用定积分来算
面积S=e/2-1

Answer 2

先算切线方程
令切点为（x0,y0）
则该点切线斜率为e^x0
得到该切线方程
y-y0
=
e^x0
*
(x-x0)
又因为y0
=
e^x0，而且（0，0）满足切线方程
解得x0=1，y0=e，切线方程为y=ex
面积=∫（0，1）(e^x
-
ex)dx
=(e^x
-
ex²/2)|(0,1)
=e
-
e/2
-
1
=e/2
-
1

Answer 3

积分，用积分上限是切点x，下线是负无穷，对y=e^x求积分，然后减去x*y/2的面积