Question

这个不定积分怎么求啊？

如图，请给出详细步骤

Answer 1

设u(x)是f(x)的一个原函数, v(x)是g（x）的一个原函数

则G(x)= f(x)(v(b)-v(x)) -g(x) (u(x)-u(a))
= u'(x)v(b)-u'(x)v(x) -v'(x)u(x) +v'(x)u(a)
=v(b)u'(x) +v'(x)u(a) -(u'(x)v(x)+v'(x)u(x))
两边求积分得到
G的原函数=v(b)∫u'(x)dx +u(a)∫v'(x)dx -∫u'(x)v(x)+v'(x)u(x)dx
=v(b)u(x) +u(a)v(x)-u(x)v(x)+C
=-(u(x)-u(a))(v(x)-v(b))+C'
=C-∫(a,x) f(x) dx ∫(b,x) g(x) dx

Answer 2

设f(x)的原函数是u(x)，g(x)的原函数是v(x)
G(x)=f(x)∫(x，b)g(t)dt-g(x)∫(a，x)f(t)dt
=u'(x)[v(b)-v(x)]-v'(x)[u(x)-u(a)]
=v(b)u'(x)-u'(x)v(x)-u(x)v'(x)十u(a)v'(x)
=[C1u(x)十C2v(x)-u(x)v(x)]'
G(x)的原函数是
C1u(x)十C2v(x)-u(x)v(x)
其中，C1，C2是常数，
u(x)=∫f(x)dx
v(x)=∫g(x)dx

追答

考虑到常数的导数为0，还应该加一个常数项。
C1u(x)十C2v(x)-u(x)v(x)十C3