Question

证明数列cos(n)和sin(n)的发散性 e^(in)

Answer 1

{e^(in) | n=1,2,...} 是复平面单位圆上的序列.因为单位圆是有界闭集,所以必存在收敛子序列 {e^(in_s | s = 1,2,...} ,设 e^(i n_s) -----> e^(ai),0 e^(ai + i),
令 l_s = n_s + 2,s = 1,2,.则：e^(i l_s) -----> e^(ai + 2i),
因为 e^(ix) = coxx + isinx,x：实数.
所以：
cos(n_s) -----> cos(a)
cos(m_s) -----> cos(a+1)
cos(l_s) -----> cos(a+1)
显然 cos(a),cos(a+1) 和 cos(a+2) 不可能全相等,说明 cos(n) 有不同子序列趋于不同的极限,所以 cos(n) 发散.
同理：
sin(n_s) -----> sin(a)
sin(m_s) -----> sin(a+1)
sin(l_s) -----> sin(a+1)
显然 sin(a),sin(a+1) 和 sin(a+2) 不可能全相等,说明 sin(n) 有不同子序列趋于不同的极限,所以 sin(n) 发散.