Question

设随机变量X服从均匀分布，Φ(x)为标准正态分布的分布函数，求Y=Φ^-1(X)的概率密度函数.

Answer 1

问：设随机变量X服从均匀分布，Φ(x)为标准正态分布的分布函数，求Y=Φ^-1(X)的概率密度函数.

答：由于X服从均匀分布，概率密度函数为：f(x) = {1/(b-a), a<=x<=b, 0, 其他其中a、b为均匀分布的参数，由于本题未给出具体数值，因此可以假设a=0，b=1。则有：f(x) = {1, 0<=x<=1, 0, 其他又因为Y=Φ^-1(X)，即X=Φ(Y)，根据定义可得：Φ(Y) = X将Φ(Y)带入标准正态分布的概率密度函数中，有：f(x) = 1/√(2π) * e^(-Y^2/2)因此，Y的概率密度函数为：f(y) = f(x)/|d(x)/dy| = f(x)/φ(y)其中φ(y)为标准正态分布的概率密度函数，即：φ(y) = 1/√(2π) * e^(-y^2/2)将f(x)代入，可得：f(y) = 1/√(2π) * e^(-y^2/2) / φ(y)化简可得：f(y) = 1/√(2π) * e^(-y^2/2) / (1/√(2π) * e^(-y^2/2))即：f(y) = e^(-y^2/2)因此，Y的概率密度函数为标准正态分布的概率密度函数，即：f(y) = 1/√(2π)