Question

3.函数 f(x)= x^2+ln(x-1),x≥2 kx+1, x<2 试问k何值时,函数f(x)在x=2 处连续

Answer 1

问：3.函数 f(x)= x^2+ln(x-1),x≥2 kx+1, x<2 试问k何值时,函数f(x)在x=2 处连续

答：您好，很高兴为您解答 3. 函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 + \ln(x-1), x \geq 2 \kx + 1, x < 2 \end{cases}$ 试问 $k = 1$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处连续。 在函数 $f(x) = x^2 + \ln(x-1), x \geq 2$ 和 $g(x) = kx + 1, x < 2$。 2. $\lim_{x \to 2^{-}} g(x) = \lim_{x \to 2^{+}} f(x)$ 因为 $x < 2$ 时，$g(x) = kx + 1$，而 $x \geq 2$ 时，$f(x) = x^2 + \ln(x-1)$，所以需要满足以下等式： $\lim_{x \to 2^{-}} g(x) = \lim_{x \to 2^{+}} f(x)$ 将 $g(x)$ 和 $f(x)$ 带入到上式中，得到： $\lim_{x \to 2^{-}} (kx + 1) = \lim_{x \to 2^{+}} (x^2 + \ln(x-1))$ 因为 $k$ 是常数，所以 $k \times 2 + 1 = 4 + \ln1 = 4$ 得出 $k = 1$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处连续。