Question

求函数y=x+根号下4-x^2的值域

解答过程

Answer 1

y=x+根号下4-x^2
y-x=根号下4-x^2
(y-x)^2=4-x^2
2x^2-2yx+y^2-4=0
判别式△=4y^2-4*2(y^2-4)=-4y^2+16≥0
-2≤y≤2
函数y=x+根号下4-x^2的值域:[-2,2]

Answer 2

一楼方法有误，当x取-2时，√(4-x^2)取不到0的
试试我的方法：
因为x的定义域为【-2,2】，令x=2sint，-90°<t<90°，则
y=2sint+2cost=2(√2)sin(t+45°)
所以y的值域为【-2，2√2】

Answer 3

用柯西不等式:(x^2+4-x^2)(1^2+1^2)>=(x+√(4-x^2))^2
得|y|<=2√2
当x^2=4-x^2 x^2=2 时取等号
当x=√2 时,y有最大值2√2
当x∈[0,2] y>=0
当x∈[-2,0] y递增 y>=-2+√(4-4)=-2
所以-2<=y<=2√2

Answer 4

[-2，2√2]
解：
y=x+√(4-x²)
定义域：[-2，2]
令x=2sinα(-π/2≤α≤π/2)
则，
√(4-x²)=√(4-4sin²α)=2cosα
所以，
y
=2sinα+2cosα
=2√2sin(α+π/4)
∵-π/2≤α≤π/2
∴-π/2+π/4≤α+π/4≤π/2+π/4
∴-π/4≤α+π/4≤3π/4
∴-√2/2≤sin(α+π/4)≤1
∴
-2≤2√2sin(α+π/4)≤2√2
即，
值域[-2，2√2]

Answer 5

一楼方法有误，当x取-2时，√(4-x^2)取不到0的
试试我的方法：
因为x的定义域为【-2,2】，令x=2sint，-90°<t<90°，则
y=2sint+2cost=2(√2)sin(t+45°)
所以y的值域为【-2，2√2】