Question

2000年考研数三真题第八题

设函数f（x）在[0，π]上连续，且∫f(x)sinxdx=∫f(x)cosxdx=0,证明在（0，π）内至少存在两个不同的点a，b，使得f(a)=f(b)=0
注：上面两个积分上下限都分别是0和π
这是真题的一个类似题目，哪位仁兄知道下

Answer 1

首先你要和弯知道一条引理：

如果一个不变号的连续函数在一个区间上积分为零，则这码斗个函数在该区间上恒唤模闷等于零。

反证法：

（1）假定f(x)在（0，π）内没有零点，则连续函数f(x)sinx在（0，π）内也没有零点，因而保持不变号。但由此及∫f(x)sinxdx＝0却可推得f(x)sinx在（0，π）内恒为零（见上面引理），矛盾。

（2）假定f(x)在（0，π）内恰有一个零点，记做 a，这时又分两种情况：

（2a）f(x)在(0,a)与(a,π)内同号，那么f(x)sinx在（0，π）内不变号，但它的积分为零，从而f(x)sinx在（0，π）内恒为零，但sinx在（0，π）内不为零，所以f(x)恒为零，矛盾；

（2b）f(x)在(0,a)与(a,π)内异号，这时函数f(x)sin(x-a)在(0,π)内不变号，但它的积分是

∫f(x)sin(x-a)dx = (cos a) ∫f(x)sinxdx - (sin a) ∫f(x)cosxdx = 0.

因此，由上面引理又推得f(x)sin(x-a)在(0,π)内恒为零了，但sin(x-a)在(0,π)内除了在一个点以外，都不取零值，所以仍然推得f(x)恒为零，矛盾。

综上所述，f(x)在（0，π）内至少有两个零点。

Answer 2

令F(x)=∫f(x)sinxdx 上下线野散兄分别是π x.
F(0)=F(π ) 则（0，π）这掘埋个区间里有一点使得f(x)sinxdx=0
而这个区间内颂袭sinx不等于0.即有a使得f(x)=0