Question

高一数学数列问题

高一数学数列问题，题见图

Answer 1

(1)
令cn=a(n+1)-an
∵a(n+2)=3a(n+1)-2an
∴a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an]
即:c(n+1)=2cn
∴c(n+1)/cn=2
∴数列{cn}是公比为2的等比数列
即:数列{a(n+1)-an}是公比为2的等比数列

(2)
∵a3-a2=2(a2-a1)
a4-a3=2(a3-a2)
……
an-a(n-1)=2[a(n-1)-a(n-2)]
上列各式累加,得:
an-a2=2a(n-1)-2a1
将a1=1,a2=3代入:
即:an=2a(n-1)+1..............(1)
an+x=2[a(n-1)+(1+x)/2]
解得:x=1
∴(1)可以化简为:
an+1=2[a(n-1)+1]
∴(an+1)/[a(n-1)+1]=2
∴数列{an+1}是公比为2，首项为2的等比数列
∴an+1=2*2^(n-1)=2^n
∴an=2^n-1,(n∈N+)

(3)
∵an=2^n-1
∴(an+1)^bn=2^(n*bn)
又∵(an+1)^bn=4^(b1+b2+b3……+bn-n)
=2^2(b1+b2+b3+……+bn-n)
∴n*bn=2(b1+b2+b3+……+bn-n)
∴b1+b2+b3+……+bn=[(2+bn)/2]*n
∵当n=1时,b1=2
∴b1+b2+b3+……+bn=[(b1+bn)/2]*n
(“[(b1+bn)/2]*n”是等差数列求和公式)
∴{bn}是等差数列

Answer 2

1.移项：a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an]
∴{a(n+1)-an}等比，公比为2
2.由上一问可得：
a(n+1)-an=(a2-a1)×2^(n-1) (2的n-1次方）
=2^n
∴a2-a1=2
a3-a2=2^2
...
an-a(n-1)=2^(n-1)
以上各式累加得：an=2^n-1
3.在题中所给式子中令n=1,2得b1=2,b2=
设数列{bn}的前n项和为Sn
题中所给式子左边=4^[b1+b2+...+bn-n]
=4^(Sn-n)
=2^(2Sn-2n)
右边=2^(nbn)
∴2Sn-2n=nbn
即Sn=(bn+2)*n/2=(bn+b1)*n/2
即{bn}的前n项和符合等差数列的求和公式
∴{bn}等差