Question

已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量 m =（sinB，1-cosB）

已知△ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量 m =（sinB，1-cosB）与向量 n =（2，0）的夹角θ的余弦值为1/2
若b=√3，求a+c的最大值。 请详细写一下，谢谢。

Answer 1

向量m=(sinB,1-cosB)，向量n=(2,0)，m•n=2sinB, |m|=√(sin²B+(1-cosB) ²)=√(2-2 cosB)= √[2(1- cosB)]= √[2•2sin²(B/2)]=2 sin(B/2).|n|=2所以Cosα=m•n/(|m||n|)=2sinB/[4 sin(B/2)]= 4 sin(B/2)cos(B/2) /[4 sin(B/2)]= cos(B/2).由已知：Cosα=1/2，∴cos(B/2) =1/2，B/2 =π/3. B=2π/3.由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R=2.所以(a +c )/(sinA +sinC)=2a +c=2(sinA +sinC)∵B=2π/3. A +C=π/3.∴a +c=2(sinA +sin(π/3-A))=2(sinA +√3/2cosA-1/2sinA)=2(1/2sinA +√3/2cosA)=2sin (A+π/3)因为0<A<π/3, π/3<A+π/3<2π/3.所以√3/2<sin (A+π/3)≤1a +c==2sin (A+π/3)∈（√3，2].