Question

已知函数f（x）=loga（a^x-1）（a>0,且a≠1）.求证: ①函数f（x）的图像在y轴的

已知函数f（x）=loga（a^x-1）（a>0,且a≠1）.求证: ①函数f（x）的图像在y轴的一侧; ②函数f（x）图像上任意两点连线的斜率都大于0.

Answer 1

（1）根据对数函数的定义域，所以a(a^x-1)>0,
又因为a>0
所以a^x<1
所以当0<a<1时，x>0
当1<a时，x<0.
所以函数f(x)的图像在y轴的一侧。
（2）假设x1<x2
若0<a<1，则a^x1>a^x2, a^x1-1>a^x2-1
所以loga(a^x1-1)<loga(a^x2-1)
所以[loga(a^x1-1)-loga(a^x2-1)]/（x1-x2）>0
若1<a，则a^x1<a^x2, a^x1-1<a^x2-1
所以loga(a^x1-1)<loga(a^x2-1)
所以[loga(a^x1-1)-loga(a^x2-1)]/（x1-x2）>0
所以函数f（x）图像上任意两点斜率大于0.